Obiettivi



Lo scopo del corso e' quello di fornire tutti i concetti basilari dell'Analisi

Matematica per funzioni di una e piu' variabili e le techiche di calcolo per

funzioni di una variabile. Una certa attenzione viene rivolta alla scelta degli

esempi significativi, spesso tratti dalle scienze applicate. Lo sviluppo della

teoria e' in gran parte lasciato al corso di Analisi Matematica 2, strettamente

collegato con questo.



Contenuti



Introdotti brevemente alcuni argomenti propedeutici, quali i numeri reali e

complessi e le funzioni trascendenti elementari nei campi reale e complesso, si

passa a una trattazione succinta delle successioni e delle serie di numeri

reali o complessi e di vettori.



Si entra quindi nel vivo del programma e all'introduzione di tutti i concetti

fondamentali dell'Analisi Matematica: limiti, continuita', derivate, integrali.

Questo viene fatto, in forma unitaria, per funzioni di una o piu' variabili, sia

pure partendo dal caso guida delle funzioni di una sola variabile.



Le nozioni di limite e di continuita' vengono presentate nell'ambito delle

funzioni che operano fra spazi euclidei, privilegiando negli esempi e negli

esercizi il caso delle funzioni reali di variabile reale, senza tuttavia

sottovalutare la situazione generale.



La parte teorica del calcolo differenziale si incentra sui concetti di

differenziabilita' e di differenziale. Questo motivo conduttore offre lo spunto

per la precisazione rigorosa del concetto di tangenza e per l'introduzione dei

vari tipi di derivate del primo ordine (derivate ordinarie, direzionali,

parziali, gradiente, matrice jacobiana), con le loro proprieta' principali e le

principali regole di calcolo, dunque con il risalto che tutti i tipi di

derivate meritano. Viene introdotto e usato sistematicamente il concetto di

funzione implicita, con relativo calcolo differenziale del primo ordine. Al

caso delle funzioni di una variabile, poi, e' dato un rilievo particolare anche

nella parte pratica (ad esempio negli studi di funzione, limitatamente alle

questioni legate alle derivate del primo ordine, come la determinazione di

massimi e minimi e degli intervalli di monotonia), mentre viene rimandata al

corso successivo l'acquisizione dell'analoga manualita' relativa a funzioni di

piu' variabili e a questioni che fanno intervenire derivate di ordine superiore.



La teoria dell'integrazione viene introdotta alla Riemann, ma attraverso una

formulazione astratta, che estende i casi dell'integrale su un intervallo o su

un rettangolo del piano, introdotti come prototipi. Il quadro e'

sufficientemente generale da comprendere, accanto agli integrali di funzioni di

una variabile e agli integrali multipli, gli integrali di linea e di superficie.

In questo contesto unitario vengono introdotte tutte le proprieta' fondamentali

degli integrali e la teoria della misura secondo Peano-Jordan. Per quanto

riguarda il calcolo effettivo, invece, ci si limita agli integrali

sull'intervallo e alle tecniche derivanti direttamente dal Teorema fondamentale

del calcolo (integrazione per parti e per sostituzione). Sugli integrali con

integrando o dominio non limitati viene dato solo un cenno, dato che questi

casi costituiscono uno degli argomenti principali di un corso successivo.

Nell'ultima parte di questo capitolo, infine, vengono introdotti per via

integrale i concetti di divergenza e di rotore, con le regole per il loro

calcolo effettivo, e viene dato un cenno sui Teoremi di Gauss e di Stokes.



Riferimenti bibliografici



G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", seconda edizione, McGraw-Hill, 2011.

Materiale vario nel sito web.







http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/teach.htm