Obiettivi



Il corso si propone di introdurre i concetti fondamentali dell'Analisi

Numerica e del Calcolo Scientifico e si pone l'obiettivo di portare lo

studente a un sufficiente grado di dimestichezza nella classificazione dei

problemi e degli algoritmi numerici idonei alla loro risoluzione. Lo studio

teorico e' affiancato da esercitazioni tenute nel laboratorio informatico del

Dipartimento di Matematica che costituiscono parte integrante del corso stesso.



Contenuti



1) Analisi degli errori.

Classificazione dei problemi computazionali. Sistema dei numeri

floating point. Aritmetica in virgola mobile. Propagazione degli errori.

Condizionamento di un problema.



2) Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari.

Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU.

Strategie di pivoting. Altre fattorizzazioni, fattorizzazione di Choleski.

Matrici a banda, a blocchi e sparse. Il numero di condizionamento. Analisi a

priori in avanti e all'indietro. Stabilita' della fattorizzazione LU. Sistemi

sovradeterminati; fattorizzazione QR; algoritmo di Gram-Schmidt modificato e

matrici di Householder.



3) Metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari.

Metodi di splitting: metodo di Jacobi, metodo di Gauss-Seidel. Matrice di

iterazione e raggio spettrale. Metodi JOR e SOR. Studio della convergenza e

criteri di arresto. Metodi di tipo Richardson; analisi del metodo di

Richardson stazionario. Metodo del gradiente (steepest descent). Metodo del

gradiente coniugato; metodo del gradiente coniugato precondizionato.

Precondizionatori.



4) Calcolo di autovalori e autovettori.

Condizionamento dei problemi agli autovalori e localizzazione degli

autovalori. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. Tecnica di

shift. Deflazione. Metodi di similitudine; il metodo QR.



5) Approssimazione di funzioni e di dati.

Interpolazione di Lagrange. Analisi dell'errore nell'intepolazione

polinomiale; costante di Lebesgue e stima dell'errore. Fenomeno di Runge e

nodi di Chebychev. Metodo di Newton e differenze divise. Analisi di stabilita'

dell'interpolazione. Interpolazione astratta: unisolvenza. Spline: lineari e

del terz'ordine. Interpolazione polinomiale a tratti in piu' dimensioni. Il

problema generale dell'approssimazione lineare. Minimi quadrati lineari.

Polinomi ortogonali (Legendre, Chebyshev). Miglior approssimazione.



6) Equazioni non lineari e ottimizzazione.

Metodo di bisezione. Metodo Regula Falsi e Illinois. Metodo di Newton. Analisi

del metodo di Newton. Metodo delle corde. Metodo delle secanti. Iterazioni di

punto fisso. Convergenza del metodo di punto fisso e propagazione degli

errori. Il metodo di Newton come iterazione di punto fisso: radici multiple.

Metodo di deflazione per la ricerca delle radici di polinomi.



7) Integrazione numerica.

Formula del punto medio semplice e composita. Formule di Newton-Cotes (trapezi

e Cavalieri-Simpson). Stima dell'errore nelle formule di Newton-Cotes. Formule

composite. Formule di Gauss, teorema di Jacobi. Formule di Gauss-Legendre,

Gauss-Chebyshev, Gauss-Lobatto. Formula di Cavalieri-Simpson adattiva.



8) Approssimazione di equazioni differenziali.

Metodo di Eulero esplicito. Analisi del metodo di Eulero esplicito.

Adattivita' e propagazione degli errori per il metodo di Eulero esplicito.

Metodi di sviluppo in serie. Metodi Runge-Kutta. Eulero implicito,

theta-metodo, Crank-Nicolson. Analisi dei metodi a un passo (consistenza

e 0-stabilita'). Assoluta stabilita' (Eulero esplicito, Eulero implicito,

thata-metodo). Metodi multistep lineari. Metodi BDF. Metodi di Adams. Cenni su

metodi predictor-corrector. Consistenza dei metodi multistep. Condizione delle

radici e 0-stabilita'.





Prerequisiti



I corsi di Algebra lineare e di Analisi del primo anno.



Riferimenti bibliografici



V. Comincioli: "Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni", Apogeo, 2005.







http://www-dimat.unipv.it/boffi/teach.html