Obiettivi



Il corso, diviso in due parti, si propone di fornire un'intoduzione alla teoria

delle funzioni di una variabile complessa e un'esposizione sistematica della

teoria astratta della misura (con complementi sul teorema fondamentale del

calcolo integrale). La teoria e' accompagnata da esempi ed esercizi.



Contenuti



Funzioni di variabile complessa: funzioni esponenziali e trigonometriche,

derivata complessa, condizioni di Cauchy-Riemann, integrale, omotopia, lemma di

Goursat, formula di Cauchy, serie di potenze, analiticita' delle funzioni

olomorfe, teorema di Liouville, classificazione delle singolarita' isolate,

serie di Laurent, teorema di Casorati-Wierstrass, principio di identita',

teorema dei residui.



Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne

e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff,

integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza

dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le

convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure

prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn,

misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di

Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata,

teorema fondamentale del calcolo.





Prerequisiti



Si presuppongono note le nozioni fondamentali di Analisi Matematica 1, 2 e 3.



Riferimenti bibliografici



Testi di base:

G.Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill,

H.Brezis: Analisi Funzionale, Liguori



Testi di approfondimento:

R.Remmert: Theory of Complex Functions, Springer

P.R.Halmos: Measure Theory, Springer

L.C.Evans, R.F.Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press







http://www-dimat.unipv.it/~negri/