Obiettivi



Il corso e' una introduzione alle strutture fondamentali dell'algebra: gruppi, anelli, campi.



Contenuti



I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze.



Gruppi: definizione ed esempi. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Nucleo di un omomorfismo. Prodotti diretti di gruppi. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi.



Anelli (commutativi e non), domini di integrita', anelli con divisione e campi. Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli. Ideali primi e massimali. Teorema cinese del resto. Polinomi a coefficienti in un anello. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Divisione di polinomi. Fattorizzazione di polinomi. Regola di Ruffini.



Polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica. Polinomi primitivi e lemma di Gauss. Fattorialita' degli anelli di polinomi su un dominio a fattorizzazione unica. Criteri di irriducibilita' per polinomi.



Estensioni di campi. Grado di un'estensione; moltiplicativita' del grado. Elementi algebrici e trascendenti. Transitivita' dell'algebricita'. Aggiunzione simbolica di radici. Campo di spezzamento di un polinomio. Chiusura algebrica. Il "teorema fondamentale dell'algebra".



Prerequisiti



Il corso di Algebra Lineare o altro equivalente



Riferimenti bibliografici



I.N. Herstein: "Algebra", Editori Riuniti.

Dispense fornite dal docente.



Altri testi suggeriti



M. Artin: "Algebra", Bollati Boringhieri.







http://www-dimat.unipv.it/cornalba/alg1-1213/alg1-1213.html