Obiettivi



Il corso e' una introduzione alla teoria di Galois delle equazioni, accompagnata dai necessari complementi di teoria dei gruppi e di teoria dei moduli su un anello.



Contenuti



Moduli su un anello. Costruzioni di moduli. Anello di gruppo e rappresentazioni. Struttura dei moduli finitamente generati su un anello a ideali principali. Applicazioni; forma canonica di Jordan e forme canoniche razionali.



Azioni di gruppi su insiemi. Equazione delle classi. Teoremi di Sylow e applicazioni. Prodotti semidiretti. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Il gruppo moltiplicativo degli interi modulo n. Gruppi risolubili.



Estensioni di campi. Campi di spezzamento: esistenza e unicita'. Chiusura algebrica e sua unicita'. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali. Estensioni separabili e inseparabili. Estensioni di Galois. Il teorema fondamentale della teoria di Galois. il teorema dell'elemento primitivo. Teoria di Galois dei campi finiti. Polinomi ciclotomici e loro irriducibilita'. Il gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni cicliche e loro caratterizzazione. Criterio di risolubilita' per radicali. Il polinomio generale di grado > 4. Equazioni a coefficienti interi che non sono risolubili per radicali. La cubica e la quartica.



Prerequisiti



I corsi di Algebra Lineare e Algebra 1 o equivalenti.



Riferimenti bibliografici



I.N. Herstein, Algebra, terza edizione, Editori Riuniti, Roma 1993

D.J.H. Garling, A Course in Galois Theory, Cambridge University Press

C. Procesi, Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli



altri testi suggeriti:

M.F. Atiyah, I.G. MacDonald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli, 1981

M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino 1997

I.N. Stewart, Galois Theory, second edition, CRC Press







http://www-dimat.unipv.it/cornalba/alg2-1213/alg2-1213.html