Obiettivi



Lo scopo del corso e' quello di riprendere i contenuti del corso di Analisi Matematica 1 e di sviluppare la teoria, in particolare per quanto riguarda le derivate di ordine superiore e le tecniche di calcolo integrale per funzioni di piu' variabili. Vengono inoltre svolte le dimostrazioni di quei risultati che nel corso precedente erano stati solo enunciati. In questo corso, infine, vengono dati anche gli elementi fondamentali su altri capitoli importanti dell'analisi matematica, che sui precedenti si fondano. Una certa attenzione viene rivolta alla scelta degli esempi significativi, spesso tratti dalle scienze applicate.



Nota



Siccome il corso e' mutuato dal Corso di Laurea in Fisica solo parzialmente, alcuni argomenti sono riservati agli studenti di Matematica (vedi in dettaglio i contenuti dati di seguito).



Contenuti



Il primo argomento trattato riguarda le proprieta' globali delle funzioni continue nell'ambito degli spazi euclidei e le loro applicazioni principali, quali l'esistenza di massimi e minimi per funzioni continue di una o piu' variabili e l'integrabilita' di tali funzioni (nello stesso contesto unitario, usato nel corso di Analisi Matematica 1, che comprende anche integrali di linea e di superficie).



Il secondo argomento consiste nello sviluppo del calcolo differenziale e si basa sui teoremi del valor medio, usati in innumerevoli applicazioni, sia nel caso di funzioni di una variabile (studi di funzione, Teoremi di De L'Hopital) sia nel contesto di funzioni di piu' variabili (ad esempio integrali dipendenti da parametri). Gli stessi teoremi del valor medio vengono poi utilizzati per lo sviluppo del calcolo differenziale di ordine superiore (questioni di convessita', formule e serie di Taylor, massimi e minimi liberi e vincolati e Teorema dei moltiplicatori di Lagrange).



Il calcolo integrale, ancora nella forma astratta seguita nel corso di Analisi Matematica 1, viene ripreso per lo sviluppo delle tecniche di integrazione per funzioni di piu' variabili. I risultati principali che vengono introdotti riguardano la riduzione degli integrali multipli e il cambiamento di variabile, quest'ultimo in una forma sufficientemente generale da comprendere i cambiamenti di variabile in integrali multipli e la riduzione a integrali su intervalli o su regioni piane di integrali di linea e di superficie rispettivamente.



Il capitolo delle equazioni differenziali ordinarie tratta principalmente delle problematiche generali per equazioni e sistemi. Vengono introdotti i risultati piu' importanti sul problema di Cauchy per equazioni e sistemi non lineari e le prime proprieta' delle equazioni e dei sistemi lineari. Per quanto riguarda invece le tecniche di calcolo delle soluzioni, ci si limita alle situazioni piu' semplici, rimandando quelle piu' complesse e la trattazione sistematica di equazioni e sistemi lineari ai corsi specializzati.



La parte finale del corso, riservata ai soli studenti di Matematica, riguarda altri due capitoli dell'Analisi Matematica. Precisamente:



vengono dati i concetti e i risultati fondamentali relativi a successioni e serie di funzioni che sono legati alla convergenza uniforme e viene brevemente trattata la teoria delle serie di potenze, con applicazioni alle trascendenti elementari in campo complesso;



vengono presentati i risultati piu' importanti sulla teoria delle forme differenziali lineari (esattezza e chiusura) nonche' sull'esistenza o meno del potenziale di un campo vettoriale.



Riferimenti bibliografici



G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", seconda edizione, McGraw-Hill, 2011. Materiale vario nel sito web.







http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/analisi2.htm