Obiettivi



Il corso, diviso in due parti, si propone di fornire un'esposizione sistematica della teoria astratta della misura, con complementi sul teorema fondamentale del calcolo integrale, e di presentare le definizioni e i primi risultati sugli spazi normati, di Banach e in particolare di Hilbert, discutendo anche di proiezioni e serie di Fourier astratte. La teoria e' accompagnata da esempi ed esercizi.



Contenuti



Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo.



Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Numerosi esempi tra cui lo spazio C^0(K) e qualche sua proprieta'; gli spazi L^p con p=1,2 oppure infinito; tutti gli spazi l^p; eventuale cenno su equazioni integrali.

Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Operatori lineari e limitati, funzionali lineari, sottospazi con molti esempi.

Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier concrete in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt): convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.







Prerequisiti



Si presuppongono note le nozioni fondamentali di Analisi Matematica 1, 2 e 3.



Riferimenti bibliografici



Testi di base:

G.Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill,

H.Brezis: Analisi Funzionale, Liguori



Testi di approfondimento:

R.Remmert: Theory of Complex Functions, Springer

P.R.Halmos: Measure Theory, Springer

L.C.Evans, R.F.Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press







http://www-dimat.unipv.it/pier/teaching.html