Obiettivi formativi



Il corso intende fornire le conoscenze di base necessarie per affrontare lo studio delle equazioni di evoluzione.



Prerequisiti



Conoscenze di base di analisi funzionale (i principali risultati utilizzati verranno comunque richiamati durante il corso) e di teoria dell'integrazione secondo Lebesgue.



Contenuti



-Funzioni a valori in spazi di Banach: integrale di Bochner, spazi di Lebesgue e Sobolev a valori vettoriali, funzioni assolutamente continue.

-Operatori non limitati in spazi di Banach: operatori chiusi, spettro, operatori con risolvente compatto, operatori autoaggiunti in spazi di Hilbert con risolvente compatto, esempi di operatori differenziali ellittici.

-Semigruppi di operatori e problemi di evoluzione: Semigruppi fortemente continui in spazi di Banach, generatori, Teorema di Hille-Yosida, semigruppi contrattivi, Teorema di Lumer Phillips, operatori auto aggiunti e generatori di semigruppi in spazi di Hilbert, semigruppi analitici.

-Applicazione alle equazioni di evoluzione: problemi di Cauchy ben posti per equazioni del primo e second'ordine, esempi di equazioni: calore, onde, Schroedinger, ecc.

-Metodo di Lions e forme: terna Hilbertiana e forme bilineari, Teorema di Lions, esistenza, unicita' e dipendenza continua dai dati.

-Operatori multivoci massimali monotoni e Teorema di Hille Yosida non lineare, caso del sottodifferenziale di una funzione convessa, sistemi gradiente.



Programma esteso



Testi di riferimento



Engel, K. and Nagel, R., One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer-Verlag, New York, 2000.

Lunardi, A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Birkhaeuser/Springer Basel AG, Basel, 1995.

Pazy, A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer-Verlag, New York, 1983.

Bre'zis, H. Ope'rateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1973.



Metodi didattici



Lezioni ed esercitazioni



Modalita' d'esame



Esame orale