Obiettivi formativi



Scopo del corso e' quello di introdurre la teoria dei sistemi dinamici hamiltoniani finito-dimensionali mettendo in luce la struttura geometrica dello spazio delle fasi.



Prerequisiti



Il corso e' la naturale prosecuzione di un corso che abbia compreso la Meccanica classica nelle formulazioni lagrangiana e hamiltoniana. E' raccomandabile la conoscenza di nozioni di base di geometria differenziale (varieta' differenziabili n-dimensionali, fibrati tangente e cotangente; curve e campi vettoriali su varieta'; forme differenziali).



Contenuti



Fondamenti geometrici della meccanica lagrangiana e hamiltoniana. Flusso hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincare'. Struttura simplettica dello spazio delle fasi hamiltoniano; 1-forma di Poincare'-Cartan e forma simplettica. Trasformazioni canoniche e loro caratterizzazione. Struttura algebrica delle variabili dinamiche: parentesi di Poisson e legame con la derivata di Lie. Costanti del moto e proprieta' di simmetria (teorema di Noether hamiltoniano). Equazioni di Hamilton-Jacobi; variabili azione-angolo nel caso unidimensionale e nel caso n-dimensionale separabile. Sistemi hamiltoniani completamente integrabili: teoremi di Liouville e di Arnol'd. Teoria canonica delle perturbazioni e cenni al teorema KAM (Kolmogorov, Arnol'd, Moser).



Testi di riferimento



A. Fasano, S. Marmi Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri 2002

A. Fasano, S. Marmi Analytical Mechanics: An Introduction, Oxford University Press 2006



Metodi didattici



Lezioni



Modalita' d'esame



Esame orale