Obiettivi



Lo scopo del corso e' quello di riprendere i contenuti del corso di Analisi

Matematica 1 e di sviluppare la teoria, in particolare per quanto riguarda le

derivate di ordine superiore e le tecniche di calcolo integrale per funzioni di

piu' variabili. Vengono inoltre svolte le dimostrazioni di quei risultati che

nel corso precedente erano stati solo enunciati. In questo corso, infine,

vengono dati anche gli elementi fondamentali su altri capitoli importanti

dell'analisi matematica, che sui precedenti si fondano. Una certa attenzione

viene rivolta alla scelta degli esempi significativi, spesso tratti dalle

scienze applicate.



Nota



Siccome il corso e' mutuato dal Corso di Laurea in Fisica solo parzialmente,

alcuni argomenti sono riservati agli studenti di Matematica (vedi in dettaglio

i contenuti dati di seguito).



Contenuti



Il primo argomento trattato riguarda le proprieta' globali delle funzioni

continue nell'ambito degli spazi euclidei e le loro applicazioni principali,

quali l'esistenza di massimi e minimi per funzioni continue di una o piu'

variabili e l'integrabilita' di tali funzioni (nello stesso contesto unitario,

usato nel corso di Analisi Matematica 1, che comprende anche integrali di

linea e di superficie).



Il secondo argomento consiste nello sviluppo del calcolo differenziale e si

basa sui teoremi del valor medio, usati in innumerevoli applicazioni, sia nel

caso di funzioni di una variabile (studi di funzione, Teoremi di De L'Hopital)

sia nel contesto di funzioni di piu' variabili (ad esempio integrali dipendenti

da parametri). Gli stessi teoremi del valor medio vengono poi utilizzati per lo

sviluppo del calcolo differenziale di ordine superiore (questioni di convessita',

formule e serie di Taylor, massimi e minimi liberi e vincolati e Teorema dei

moltiplicatori di Lagrange).



Il calcolo integrale, ancora nella forma astratta seguita nel corso di Analisi

Matematica 1, viene ripreso per lo sviluppo delle tecniche di integrazione per

funzioni di piu' variabili. I risultati principali che vengono introdotti

riguardano la riduzione degli integrali multipli e il cambiamento di variabile,

quest'ultimo in una forma sufficientemente generale da comprendere i

cambiamenti di variabile in integrali multipli e la riduzione a integrali su

intervalli o su regioni piane di integrali di linea e di superficie

rispettivamente.



Il capitolo delle equazioni differenziali ordinarie tratta principalmente delle

problematiche generali per equazioni e sistemi. Vengono introdotti i risultati

piu' importanti sul problema di Cauchy per equazioni e sistemi non lineari e le

prime proprieta' delle equazioni e dei sistemi lineari. Per quanto riguarda

invece le tecniche di calcolo delle soluzioni, ci si limita alle situazioni

piu' semplici, rimandando quelle piu' complesse e la trattazione sistematica di

equazioni e sistemi lineari ai corsi specializzati.



La parte finale del corso, riservata ai soli studenti di Matematica, riguarda

altri due capitoli dell'Analisi Matematica. Precisamente:



vengono dati i concetti e i risultati fondamentali relativi a successioni e

serie di funzioni che sono legati alla convergenza uniforme e viene brevemente

trattata la teoria delle serie di potenze, con applicazioni alle trascendenti

elementari in campo complesso;



vengono presentati i risultati piu' importanti sulla teoria delle forme

differenziali lineari (esattezza e chiusura) nonche' sull'esistenza o meno del

potenziale di un campo vettoriale.



Riferimenti bibliografici



G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", seconda edizione, McGraw-Hill, 2011.

Materiale vario nel sito web.







http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/teach.htm