Obiettivi



Il corso intende fornire i concetti base della geometria

differenziale, con particolare attenzione alla geometria delle curve e delle

superfici nello spazio. Si propone inoltre di dare un'introduzione alla teoria

dell'omotopia e del gruppo fondamentale.



Contenuti



Curve



Geometria differenziale delle curve. Curve regolari di classe C^k in R^3.

Ascissa curvilinea di una curva regolare, rappresentazione intrinseca. Il

triedro fondamentale e formule di Frenet. Curvatura e torsione di una curva

regolare e significato geometrico.



Superfici



Geometria differenziale delle superfici. Superficie regolare di classe C^k in

R^3. Diffeomorfismi tra superfici regolari. Il piano tangente ad una superficie

regolare in un punto. La prima forma fondamentale di una superficie regolare

in un punto. Superfici orientabili. La mappa di Gauss di una superficie

regolare orientabile. La seconda forma fondamentale di una superficie regolare

in un punto. Curvatura normale in un punto e teorema di Meusnier. Curvature

principali e direzioni principali. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Curve

asintotiche. Le superfici di rotazione e le superfici rigate. Isometrie tra

superfici regolari. Il Teorema Egregium di Gauss. Curve geodetiche. Il Teorema

di Gauss-Bonnet.



Varieta' differenziabili



Definizione ed esempi di varieta' differenziabili. Applicazioni differenziabili

tra varietą', spazio tangente e spazio cotangente in un punto. Differenziale di

un'applicazione differenziabile. Campi vettoriali e forme differenziali.



Il gruppo fondamentale



Omotopia di archi. Prodotto di archi. Gruppo fondamentale di uno spazio

topologico X. Proprieta' funtoriali del gruppo fondamentale. Invarianza del

gruppo fondamentale per omeomorfismi. Gruppo fondamentale del prodotto di spazi

topologici. Retratti di deformazione. Invarianza del gruppo fondamentale per

omotopia. Spazi topologici contraibili. Esempi di calcolo del gruppo fondamentale.



Prerequisiti



I contenuti dei corsi di Algebra lineare, Geometria 1, Algebra 1, Analisi

matematica 1 e 2.



Testi consigliati o utili



M.P. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice-Hall.

E. Sernesi: "Geometria 2", Bollati Boringhieri.

C. Kosniowski: "Introduzione alla topologia algebrica", Zanichelli.

C. De Fabritiis, C. Petronio: "Esercizi svolti e complementi di Topologia e

Geometria", Bollati Boringhieri.

M. Abate, F. Tovena: "Curve e superfici", Springer.

M. Manetti: "Topologia", Springer.







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