Obiettivi



Il corso si compone di due parti principali: nella prima viene approfondito l'importante capitolo delle equazioni differenziali ordinarie; nella seconda parte vengono presentati i primi elementi dell'analisi complessa in una variabile.



Contenuti



Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicita', prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari (risultati generali e calcolo della matrice esponenziale). Comportamento asintotico e stabilita' (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Liapunov). Cenno ad alcune equazioni notevoli della Fisica Matematica.



Seconda parte. Differenziabilita' complessa e analiticita'. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve. Olomorfia e primitive. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarita'. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprieta' di base delle funzioni olomorfe.



Prerequisiti



I contenuti di base dei corsi di Analisi matematica e di Algebra lineare del primo anno di corso.



Riferimenti bibliografici



Per la prima parte:



S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte terza, Equazioni differenziali ordinarie, Zanichelli



Note del docente (disponibili on line sul sito del corso)



Per la seconda parte:



R. Narasimhan: Complex analysis in one variable, Birkhauser (1985)



R. Remmert: Theory of complex functions, Springer (1991)



E. M. Stein - R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Lectures in Analysis II, Princeton University Press (2003)



Note del docente (disponibili on line sul sito del corso)