Obiettivi



Il corso ha uno scopo molteplice:



a) fornire gli elementi piu' importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach;

b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica;

c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni.



Contenuti



1. Richiami su norme e prodotti scalari. Metriche e topologie indotte. Spazi vettoriali topologici. Alcune costruzioni canoniche.

Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Completamenti. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev.



2. Operatori lineari e continui. Duale di uno spazio normato. Risultati di rappresentazione del duale. Richiami sulla teoria elementare degli spazi di Hilbert.

Convergenza debole in uno spazio normato e compattezza debole sequenziale degli spazi di Hilbert.



3. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro applicazioni: la mappa di dualita', il biduale, l'isomorfismo canonico e la nozione di spazio riflessivo, la convergenza debole* nel duale, il problema della compattezza debole sequenziale, l'aggiunto di un operatore lineare e continuo.

Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali.



4. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalita'. Operatori chiusi e operatori a immagine chiusa.



5. Complementi Riflessivita': costruzioni canoniche di spazi riflessivi e classi importanti di spazi riflessivi. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Frechet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*.







Riferimenti bibliografici



H. Brezis: "Analisi Funzionale", Liguori Editore, 1986.



G. Gilardi: "Analisi Funzionale (ovvero un possibile Corso di Analisi Funzionale)", note del corso (scaricabili).



Altro materiale reperibile in rete alla pagina web del corso.







http://www-dimat.unipv.it/pier/teaching/progrAF.html