Obiettivi



Il corso intende offrire un'introduzione allo studio matematico di alcune notevoli equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo. La modellizzazione matematica dei fenomeni fisici presi in esame sara' svolta in dettaglio e si cerchera' di sfruttare la comprensione fisica dei fenomeni nel successivo studio matematico dei modelli.



Contenuti



a) Equazioni di trasporto



Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero.

Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.

Fenomeni modellizzati con equazioni di trasporto. Cenni alle equazioni di Vlasov-Poisson ed alle equazioni di Vlasov-Maxwell.

L'equazione lineare del trasporto libero: il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime.

Il problema ai limiti per l’equazione lineare del trasporto libero. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita

retrogrado, regolarita'. Principio del massimo per l'equazione del trasporto.

Equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicita', principio del massimo.

Il problema di Cauchy per l'equazione di Boltzmann lineare. Esistenza ed unicita', stime e positivita' della soluzione.

Il problema ai limiti per l'equazione di Boltzmann lineare: condizioni di riflessione speculare, di riflessione diffusa e di

accomodamento. Il lemma di Darrozes-Guiraud. Esistenza ed unicita' della soluzione.

Il limite asintotico in tempo per l'equazione di Boltzmann lineare.

Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare. Scaling diffusivo e sviluppo di Hilbert.

Metodi alle differenze finite per equazioni di trasporto: schemi di Lax-Friedrichs ed upwind. Il metodo diamante.

Il metodo delle ordinate discrete ed il metodo Monte Carlo per l'equazione di Boltzmann lineare.

Introduzione all'equazione di Boltzmann.



b) Equazioni di diffusione



1) Equazione del calore



Soluzione fondamentale.

Principio di massimo e confronto.

Esistenza e unicita' per la soluzione del problema di Dirichlet e del problema di Cauchy.



2) Equazione dei mezzi porosi



Modelli: flusso di un gas in un mezzo poroso, trasferimento non lineare di calore.

Esistenza di soluzioni classiche nel caso non degenere.

Principio di massimo e di confronto per soluzioni classiche.

Stime di base e contrattivita' L^1.

Identita' dell’energia.

Soluzioni di autosimilarita'.

Problema di Dirichlet: esistenza e unicità di soluzioni deboli, soluzioni con energia finita, soluzioni limite L^1, soluzioni forti.

Regolarita' delle soluzioni deboli.

Problema di Cauchy: esistenza con dato iniziale L^1.

Comportamento asintotico per tempi grandi della soluzione del problema di Cauchy.



Prerequisiti



Nozioni di base di analisi funzionale.



Riferimenti bibliografici



L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.

J.L. Vázquez: "The Porous Medium Equation. Mathematical Theory", Oxford Univ. Press, London, 2006.

R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.

C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71-305,

North-Holland, Amsterdam, 2002.

Appunti dei docenti.







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