Obiettivi formativi



Il corso si propone di far acquisire gli elementi base della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e della teoria delle funzioni di una variabile complessa.



Prerequisiti



I contenuti di base dei corsi di Analisi matematica e di Algebra lineare del primo anno di corso.



Contenuti



Il corso si compone di due parti principali: nella prima viene approfondito l'importante capitolo delle equazioni differenziali ordinarie; nella seconda parte vengono presentati i primi elementi dell'analisi complessa in una variabile.



Programma esteso



Prima parte. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicita', prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari (risultati generali e calcolo della matrice esponenziale). Comportamento asintotico e stabilita' (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Liapunov). Cenno ad alcune equazioni notevoli della Fisica Matematica.

Seconda parte. Differenziabilita' complessa e analiticita'. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve. Olomorfia e primitive. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarita'. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprieta' di base delle funzioni olomorfe (principio del prolungamento analitico, principio dell'argomento e teorema di Rouche'; successione di funzioni olomorfe). Proprieta' geometriche: teorema dell'applicazione aperta, trasformazioni conformi, teorema della mappa conforme di Riemann. Il problema di Dirichlet su una striscia (cenno).



Testi di riferimento



Per la prima parte:

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte terza, Equazioni differenziali ordinarie, Zanichelli.

Note del docente (disponibili on line sul sito del corso)

Per la seconda parte:

R. Narasimhan: Complex analysis in one variable, Birkhauser (1985)

R. Remmert: Theory of complex functions, Springer (1991)

E. M. Stein - R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Lectures in Analysis II, Princeton University Press (2003)

Note del docente (disponibili on line sul sito del corso)



Metodi didattici



Lezioni frontali ed esercitazioni.



Modalita' d'esame



Prova scritta e prova orale



Altre informazioni







http://www-dimat.unipv.it/vitali