Obiettivi formativi



Il corso ha uno scopo molteplice:



a) fornire gli elementi piu' importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach;

b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica;

c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni.



Prerequisiti



Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una e piu' variabili.

Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

Nozioni di base di algebra lineare.



Contenuti



1. Richiami su norme e prodotti scalari. Metriche e topologie indotte. Spazi vettoriali topologici. Alcune costruzioni canoniche. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Completamenti. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev.



2. Operatori lineari e continui. Duale di uno spazio normato. Risultati di rappresentazione del duale. Richiami sulla teoria elementare degli spazi di Hilbert. Convergenza debole in uno spazio normato e compattezza debole sequenziale degli spazi di Hilbert.



3. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro applicazioni: la mappa di dualita', il biduale, l'isomorfismo canonico e la nozione di spazio riflessivo, la convergenza debole* nel duale, il problema della compattezza debole sequenziale, l'aggiunto di un operatore lineare e continuo. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali.



4. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalita'. Operatori chiusi e operatori a immagine chiusa.



5. Complementi Riflessivita': costruzioni canoniche di spazi riflessivi e classi importanti di spazi riflessivi. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Frechet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*.



Testi di riferimento



H. Brezis: "Analisi Funzionale", Liguori Editore, 1986.



G. Gilardi: "Analisi Funzionale (ovvero un possibile Corso di Analisi Funzionale)", note del corso (scaricabili).



Altro materiale reperibile in rete alla pagina web del corso.



Metodi didattici



Lezioni, in parte dedicate allo svolgimento di esercizi



Modalita' d'esame



Esame scritto e orale



Altre informazioni







http://www-dimat.unipv.it/giulio/af13.html