Obiettivi



Il corso intende dare una introduzione ai concetti base della geometria differenziale con particolare attenzione alla geometria riemanniana e alle varieta' complesse.



Prerequisiti



I contenuti dei corsi di Algebra 1, Geometria 1 e 2, Algebra lineare, dei tre corsi di Analisi del primo biennio della laurea triennale.



Contenuti



Varieta' differenziabili:



spazio tangente e spazio cotangente, campi vettoriali e forme differenziali, fibrati vettoriali e sezioni di fibrati vettoriali, campi vettoriali e coordinate: il teorema di Frobenius, gruppi e algebre di Lie.



Elementi di topologia differenziale:



lemma di Sard, trasversalita' e immersione di Whitney, teorema di de Rham, teorema di Hodge (cenni).



Geometria Riemanniana:



connessioni affini, varieta' riemanniane e connessioni di Levi-Civita, trasporto parallelo, mappa esponenziale e geodetiche, metriche riemanniane: completezza, teoremi di Hopf-Rinow e di Whitehead, campi di Jacobi, curvatura e topologia.



Varieta' complesse e algebriche:



teoria locale: funzioni olomorfe in piu' variabili complesse e loro proprieta', funzioni meromorfe, fibrati vettoriali olomorfi, fibrato tangente, fibrato tangente olomorfo, (p,q)-forme e coomologia di Dolbeault, varieta' kaeheleriane e proiettive. Topologia di Zariski, Nullstellensatz. Teoria della dimensione.







Testi di riferimento



Gian Pietro Pirola: dispense.

Frank Warner: "Foundations of differentiable manifolds and Lie groups". Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin.

Manfredo Perdigao Do Carmo: "Riemannian Geometry", Birkhaeuser.

Boothby, William M.: "An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry". Pure and Applied Mathematics, No. 63. Academic Press, New York-London, 1975.

Th. Broecker and K. Jaenich: "Introduction to differential topology".

Milnor, J.: "Morse theory". Annals of Mathematics Studies, No. 51 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1963.

D. Huybrechts: "Complex geometry. An introduction". Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

P.A. Griffiths, J. Harris: "Principles of algebraic geometry". John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994. Wiley & sons.

I.R. Shafarevich: "Basic Algebraic Geometry 1" (Second Edition), Springer, 1994.

J. Harris, "Algebraic Geometry - A First Course", Graduate Texts in Mathematics 133, Springer, 1992.



Metodi didattici



Lezioni ed esercitazioni



Modalita' di esame



Esame orale



Altre informazioni







http://www-dimat.unipv.it/~frediani/Istgeo13-14.html