a) fornire gli elementi piu' importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach;
b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica;
c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Esame scritto e orale

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una e piu' variabili.
Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
Nozioni di base di algebra lineare.

1) norme, spazi normati, spazi di Banach e di Hilbert, dualita`;

2) teorema di Hahn-Banach e applicazioni;

3) teorema di Banach-Steinhaus e sue conseguenze; operatori lineari non limitati;

4) topologie deboli, riflessivita` e separabilita`;

5) spazi Lp;

6) spazi di Hilbert;

7) spazi di Sobolev in dimensione 1;



1. Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi vettoriali topologici. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev. Spazio duale. Operatori lineari e continui.



2. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro applicazioni: la mappa di dualita'. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali. Teorema di Fenchel-Moreau.



3. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalita'. Operatori chiusi.



4. Riflessivita'; classi importanti di spazi riflessivi. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Frechet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Spazi separabili.



5. Spazi Lp. Disuguaglianze fondamentali. Teoremi di rappresentazione di Riesz. Riflessivita` e separabilita` di Lp. Convoluzione e regolarizzazione. Teorema di Ascoli. Compattezza forte in Lp.



6. Spazi di Hilbert. Proiezioni su un convesso chiuso. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Somme e basi hilbertiane.



7. Spazi di Sobolev in dimensione 1. Regolarita` delle funzioni Sobolev. Riflessivita` e separabilita`. Teoremi di prolungamento. Immersioni di Sobolev. Tracce. Applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali.

- Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore

- Dispense di Gianni Gilardi