Il corso si propone di fornire un'introduzione ai concetti principali dell'algebra commutativa e della teoria algebrica dei numeri.

Lezioni

Esame orale

I contenuti dei corsi di Algebra 1, Algebra 2 e Algebra lineare.

Anelli commutativi e moduli, localizzazione, estensioni intere, anelli e moduli artiniani e noetheriani. Domini di Dedekind, ideali frazionari, gruppo delle classi, unita' dell'anello degli interi di un campo di numeri.



Richiami su anelli commutativi e ideali; moduli e operazioni su moduli;

prodotto tensoriale di moduli.

Localizzazione di anelli e di moduli.

Anelli e moduli noetheriani e artiniani; dimensione di Krull di un anello; lunghezza di un modulo.

Dipendenza integrale; estensioni intere; chiusura integrale; anelli di

valutazione; anelli di valutazione discreta; teorema degli zeri di Hilbert.

Domini di Dedekind: ideali frazionari; fattorizzazione unica degli ideali;

gruppo delle classi di ideali.

Campi di numeri: anello degli interi; norma, traccia e discriminante;

reciprocita` quadratica.

Reticoli, lemma di Minkowski e teorema dei 4 quadrati.

Finitezza del numero delle classi di ideali e teorema delle unita`.

M.F. Atiyah, I.G. MacDonald: "Introduzione all'algebra commutativa", Feltrinelli, 1981.

G.J. Janusz: "Algebraic Number Fields", American Mathematical Society, 2005.

I. Kaplanski: "Commutative Rings", University of Chicago Press, 1974.

S. Lang: "Algebraic Number Theory", Springer, 1994.

H. Matsumura: "Commutative Ring Theory", Cambridge Univerity Press, 1989.

J.S. Milne: "Algebraic Number Theory", 2012.