Il corso è una introduzione ad alcune strutture algebriche fondamentali: gruppi, anelli e campi.

Lezioni ed esercitazioni

Esame scritto e orale

I contenuti del corso di Algebra Lineare.

Proprietà degli interi e congruenze.

Gruppi, sottogruppi e omomorfismi di gruppi. Teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppo quoziente. Gruppi simmetrici.

Anelli, domini di integrità e campi. Ideali e anello quoziente. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Anelli di polinomi.

Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti.



I numeri interi. Divisione con resto di interi. Massimo comun divisore e algoritmo euclideo. Fattorizzazione unica degli interi. Congruenze.

Gruppi: definizione ed esempi; gruppi abeliani. Sottogruppi. Omomorfismi e isomorfismi di gruppi; nucleo di un omomorfismo. Prodotto diretto di gruppi. Gruppi ciclici e generatori di un gruppo. Ordine di un elemento. Indice di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali; gruppo quoziente modulo un sottogruppo normale. Gruppi simmetrici e teorema di Cayley. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per gruppi.

Anelli (commutativi e non), domini di integrità, anelli con divisione e campi. Omomorfismi di anelli. Ideali e operazioni sugli ideali. Anello quoziente modulo un ideale bilatero. Teoremi di omomorfismo e di isomorfismo per anelli. Teorema cinese del resto. Ideali primi e massimali. Polinomi a coefficienti in un anello. Domini euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. Fattorizzazione di polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica. Criteri di irriducibilità per polinomi.

Estensioni di campi. Grado di un'estensione; moltiplicatività del grado. Elementi algebrici e trascendenti. Transitività dell'algebricità. Campi algebricamente chiusi; il "teorema fondamentale dell'algebra".

Dispense fornite dai docenti.

I.N. Herstein: "Algebra", Editori Riuniti.

M. Artin: "Algebra", Bollati Boringhieri.