Il corso, diviso in due parti, si propone di fornire un'esposizione sistematica della teoria astratta della misura, con complementi sul teorema fondamentale del calcolo integrale, e di presentare le definizioni e i primi risultati sugli spazi normati, di Banach e in particolare di Hilbert, discutendo anche di proiezioni e serie di Fourier astratte. La teoria e' accompagnata da esempi ed esercizi.

Lezioni ed esercitazioni in aula.

L'esame consiste in una prova scritta di non piu' di 2 ore (durante la quale non e' consentito l'uso di appunti, testi, minicalcolatori, ...) piu' una prova orale. L'esito della prova scritta non e' vincolante per la partecipazione alla prova orale e la buona riuscita dell'esame, ma ovviamente costituisce un importante elemento di giudizio per la valutazione finale.

Si presuppongono note le nozioni fondamentali di Analisi Matematica 1, 2 e 3.

Teoria della misura. Misura di Lebesgue, sigma-algebre, misure, funzioni misurabili, integrale di Lebesgue, teoremi di passaggio al limite sotto integrale, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze.



Misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini. Misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue e teorema fondamentale del calcolo.



Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprietà: disuguaglianze di Young, Hölder, Minkowski. Completezza.



Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt).



Teoria della misura: sigma-algebra, misure, funzioni misurabili, misure esterne e costruzione di Caratheodory, misura di Lebesgue, misura di Hausdorff, integrale, teorema di Beppo Levi, lemma di Fatou, teorema della convergenza dominata, convergenza quasi-ovunque, quasi-uniforme, in misura, rapporto tra le convergenze, teorema di Severini-Egoroff, disugualianza di Chebychev, misure prodotto, teoremi di Tonelli e di Fubini, misure reali, decomposizione di Hahn, misure assolutamente continue, teorema di Radon-Nikodym, derivata di Radon-Nikodym, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo.



Spazi normati e di Banach: basi della teoria. Sottospazi. Operatori lineari e continui. Spazio duale. Numerosi esempi. Spazi L^p con le loro proprieta': disuguaglianze di Young, Hoelder, Minkowski. Completezza.



Spazi di Hilbert, teoremi di Riesz e delle proiezioni. Serie di Fourier astratte: teoremi di decomposizione, sistemi ortonormali completi, problematica e teorema di Fisher-Riesz. Serie di Fourier in L^2_T e completezza del sistema exp(ikt). Convoluzioni con polinomi trigonometrici e nucleo di Fejer.

G. Gilardi: Analisi 3, McGraw-Hill,

H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori