Il corso trattera' alcuni argomenti fondamentali dell'Analisi Matematica e sara' diviso in due parti.
Nella prima verra' affrontata la teoria delle Distribuzioni. Nella seconda parte verranno studiati gli Spazi di Sobolev.

Lezioni frontali

Per questo corso l'esame si svolgera' in forma orale.

Proprieta' di base degli spazi di Banach e degli spazi L^p.

I Parte: Introduzione alla Teoria delle Distribuzioni. Distribuzioni temperate. Misure. Nozione di convoluzione nell'ambito delle distribuzioni. Trasformate di Fourier per distribuzioni temperate. Applicazioni alle Equazioni alle Derivate Parziali, con particolare riguardo per le soluzioni fondamentali delle principali EDP lineari del II ordine.

II Parte: partendo dalla teoria delle distribuzioni, si vedranno le definizioni degli spazi di Sobolev, le proprieta' fondamentali, le disuguaglianze di Poincare' e Sobolev, i teoremi di traccia, gli spazi con esponenti frazionari, ed i duali degli spazi di Sobolev.



I Parte

Definizione di distribuzione; principali operazioni sulle distribuzioni; nozione di supporto; distribuzioni a supporto compatto; divisione nel campo delle distribuzioni; nozione di convoluzione; distribuzioni temperate; trasformata di Fourier per distribuzioni temperate; legame fra annullamento della distribuzione e la regolarita' della sua trasformata; teorema di Paley-Wiener; soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace in R^N; soluzione fondamentale dell'equazione del calore in R^N; problema di Cauchy per l'equazione del calore in R^N; soluzione fondamentale per l'equazione delle onde in R^2 e in R^3.



II Parte

Spazi di Sobolev; teorema di Gagliardo-Nirenberg; immersione di W^{1,p} in L^q; teorema di Rellich; disuguaglianza di Poincaré; disuguaglianza di Sobolev; spazi di Sobolev con indice non intero; applicazione alla regolarità delle soluzioni di equazioni ellittiche; teoremi di traccia in L^p e in W^{s,q}

S. Kesavan: "Topics in functional analysis and applications". John Wiley & Sons, New York, 1989.



E. DiBenedetto: "Real Analysis". Birkhauser, Boston, 2002.



F.G. Friedlander: "Introduction to the theory of distributions". Cambridge University Press, Cambridge, 1998.



P.W. Ziemer: "Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation". Springer-Verlag, New York, 1989.



H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, 1986.



W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Series in

Higher Mathematics, McGraw-Hill, 1973.