Il corso fornisce uno studio matematico introduttivo di alcune notevoli equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo che descrivono fenomeni di trasporto e diffusione.
Si evidenzieranno i legami tra le proprietà fisiche dei sistemi e le proprietà matematiche dei modelli corrispondenti.

Lezioni frontali.

Prova scritta.

Nozioni di base di analisi funzionale.

Introduzione alla modellizzazione cinetica di fenomeni di trasporto. Studio matematico e numerico di equazioni di trasporto lineare.



a) Equazioni di trasporto



Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero.

Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.

Fenomeni modellizzati con equazioni di trasporto. Cenni alle equazioni di Vlasov-Poisson ed alle equazioni di Vlasov-Maxwell.

L'equazione lineare del trasporto libero: il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime.

Il problema ai limiti per l'equazione lineare del trasporto libero. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarita'. Principio del massimo per l'equazione del trasporto.

Equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicita', principio del massimo.

Il problema di Cauchy per l'equazione di Boltzmann lineare. Esistenza ed unicita', stime e positivita' della soluzione.

Il problema ai limiti per l'equazione di Boltzmann lineare: condizioni di riflessione speculare, di riflessione diffusa e di accomodamento. Il lemma di Darrozes-Guiraud. Esistenza ed unicita' della soluzione.

Il limite asintotico in tempo per l'equazione di Boltzmann lineare.

Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare. Scaling diffusivo e sviluppo di Hilbert.

Metodi alle differenze finite per equazioni di trasporto: schemi di Lax-Friedrichs ed upwind. Il metodo diamante.

Il metodo delle ordinate discrete ed il metodo Monte Carlo per l'equazione di Boltzmann lineare.

Introduzione all'equazione di Boltzmann.



b) Equazioni di diffusione



Equazione del calore come paradigma della diffusione. Soluzione fondamentale; esistenza e unicita' per la soluzione del problema di Dirichlet e del problema di Cauchy.



Introduzione alla meccanica dei continui. Formulazione lagrangiana ed euleriana. Deformazione e movimento. Equazioni di bilancio. Grandezze termodinamiche ed equazioni costitutive.

Materiali classici: fluidi perfetti, incomprimibili, barotropici; fluidi perfetti ed equazioni di Eulero; fluidi newtoniani ed equazioni di Navier Stokes. Esistenza delle soluzioni per il problema di Stokes e Navier-Stokes.



Equazione dei mezzi porosi (equazione non lineare del calore). Esistenza di soluzioni classiche nel caso non degenere.

Principio di massimo e di confronto per soluzioni classiche. Legge di Darcy e limiti di validita'. Fluido incomprimibile in mezzo poroso.

Flusso di Stefan e diffusione alla Stefan-Maxwell; applicazioni.

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.



R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.



C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71-305, North-Holland, Amsterdam, 2002.



C. Banfi: "Introduzione alla meccanica dei continui", CEDAM (Padova), 1990.



M.E. Gurtin: "An Introduction to Continuum Mechanics", Academic Press (NY), 1981.



Appunti dei docenti.