Viene presentata la teoria kolmogoroviana delle probabilita', in vista del suo impiego nello studio dei processi stocastici.

Lezioni di teoria e di avviamento alla risoluzione di problemi, tramite l'assegnazione di esercizi da svolgere a casa.

Prova orale accompagnata da verifiche sugli esercizi svolti a casa dall'esaminanda/o.

Conoscenza dell'analisi matematica (elementi di teoria della misura e dell'integrazione, in particolare) svolta nel primo triennio

1.- Spazi di probabilita' secondo Kolmogorov: dimensione finita e infinita. Analisi della condizione d'indipendenza stocastica.

2.- Valore atteso, integrale, disuguaglianze notevoli, convergenza debole e convergenza forte

3.- Trasformazioni integrali di una distribuzione di probabilita'

4.- Leggi dei grandi numeri

5.- Convergenza debole di misure di probabilità (teoria di Prokhorov). Il teorema centrale del limite del calcolo delle probabilita' nella formulazione di Lindeberg.

6.- Speranza condizionale

7.- Martingale con parametro discreto: convergenza, teoremi di arresto opzionale e applicazioni







1.- Spazi di probabilita' secondo Kolmogorov: dimensione finita e infinita.

Viene trattata nel dettaglio la costruzione di spazi di probabilità mediante i classici teoremi di estensione di Kolmogorov e di Ionescu-Tulcea. In questa parte viene fatta un' analisi accurata del concetto di indipendenza stocastica.

2.- Valore atteso, integrale, disuguaglianze Tchebyshov, di Jensen, di Kolmogorov (massimale). Vengono inoltre presentate le definizioni di convergenza in probabilità e di convergenza uniforme in probabilità (equivalente a convergenza quasi certa, nel caso di misure di probabilità), studiandone i significati anche alla luce dei lemmi di Borel-Cantelli. Si esaminano le classiche leggi 0-1 di Kolmogorov e di Hewitt-Savage

3.- Trasformazioni integrali di una distribuzione di probabilita'. Si studia in particola la funzione caratteristica (trasformata di Fourier-Stieltjes).

4.- Leggi dei grandi numeri:formulazione debole di Khinchin e formulazione forte di Etemadi.

5.- Il teorema centrale del limite del calcolo delle probabilita' viene presentato con riferimento a schiere di numeri aleatori, come già detto nella versione di Lindeberg.

6.- Speranza condizionale: definizione in collegamento col teorema di Radon-Nikodym; definizione come proiezione (principio della regressione). Si esaminano le condizioni sufficienti per l'esistenza di distribuzioni condizionali regolari.

7.- Martingale con parametro discreto. Le applicazioni accennate nel programma breve riguardano: la dimostrazione di disuguaglianze massimali (Doob); il problema della rovina dei giocatori; estensioni dei lemmi di Borel-Cantelli; affinamenti di leggi forti dei grandi numeri; la dimostrazione del teorema di Radon-Nikodym e di qualche altro risultato classico dell'analisi reale.

Oltre agli appunti manoscritti a cura del docente, si consiglia: Erhan Cinlar (2011) Probability and Stochastics. Springer.