Conoscenza di base della Teoria delle Distrubuzioni, degli Spazi di Sobolev e delle Equazioni Ellittiche.

Lezioni frontali

Esame orale.

Proprietà di base degli spazi di Banach (duali e topologie deboli) e degli spazi L^p.

DISTRIBUZIONI. Definizione di distribuzione e topologia. Immersioni e convergenza sequenziale. Lo spazio M delle misure di Radon. Derivazione. Traslazione e rapporti incrementali. Ordine di una distribuzione. Supporto e distribuzioni a supporto compatto. Lo spazio E'. Convoluzione. Soluzioni fondamentali del laplaciano in R^n.

SPAZI DI SOBOLEV. Definizione, norme e prodotti scalari, separabilia' e riflessivita'. Teorema di Friedrichs. Chain rule e troncamento. Caratterizzazione per traslazione. Prolungamento per riflessione. Teorema di Meyers-Serrin. Immersioni continue. Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Teorema di Morrey. Funzioni Lipschitziane, assolutamente continue ed uniformemente continue. Proprieta' elementari dello spazio BV. Immersioni compatte: quadro generale e richiami: teoremi di Ascoli-Arzela', Riesz-Frechet-Kolmogorov e Dunford-Pettis. Compattezza in L^p, W^{1,p} e in M. Spazi duali ed H^{-1}. Disuguaglianza di Poincare' e Poincare'-Wirtinger. Tracce in L^p. Cenni spazi frazionari.

EQUAZIONI ELLITTICHE. Teorema di Lax-Milgram. Laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee e non-omogenee per operatori a coefficienti limitati. Lo spazio L^2(div) e i problemi di Neumann. Regolarita' H^2 per il problema di Dirichlet (traslazioni di Niremberg). Principio di massimo (troncature di Stamapacchia).

S. Kesavan: "Topics in functional analysis and applications". John Wiley & Sons, New York, 1989.

H. Brezis: "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations". Springer, New York, 2011.

G. Leoni: "A First Course in Sobolev Spaces". Americal Mathematical Society, Providence, 2009.

F. Treves: "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels". Academic Press, New York, 1967