Il corso fornisce uno studio matematico introduttivo di alcune notevoli equazioni alle derivate parziali di tipo evolutivo che descrivono fenomeni di trasporto e diffusione. Si evidenzieranno i legami tra le proprietà fisiche dei sistemi e le proprietà  matematiche dei modelli corrispondenti, in particolare il modello di materia soffice (continui).

Lezioni frontali.

Prova scritta (dissertazione).

Nozioni di base di analisi matematica, algebra lineare e analisi funzionale.

a) Equazioni di trasporto

Origine delle equazioni di trasporto e diffusione: il random walk, equazione del calore ed equazione del trasporto libero.
Il formalismo della teoria cinetica. Scaling di trasporto e di diffusione. Passaggio formale dal trasporto alla diffusione.
Fenomeni modellizzati con equazioni di trasporto. Cenni alle equazioni di Vlasov-Poisson ed alle equazioni di Vlasov-Maxwell.
L'equazione lineare del trasporto libero: il problema di Cauchy. Il metodo delle caratteristiche, stime.
Il problema ai limiti per l'equazione lineare del trasporto libero. Bordo entrante, uscente e caratteristico. Tempo di uscita retrogrado, regolarità. Principio del massimo per l'equazione del trasporto.
Equazione stazionaria del trasporto: teorema di esistenza ed unicità, principio del massimo.
Il problema di Cauchy per l'equazione di Boltzmann lineare. Esistenza ed unicità, stime e positività della soluzione.
Il problema ai limiti per l'equazione di Boltzmann lineare: condizioni di riflessione speculare, di riflessione diffusa e di accomodamento. Il lemma di Darrozes-Guiraud. Esistenza ed unicità della soluzione.
Il limite di diffusione per l'equazione di Boltzmann lineare. Scaling diffusivo e sviluppo di Hilbert.


b) Equazioni di diffusione

Introduzione alla meccanica dei continui. Formulazione lagrangiana ed euleriana. Deformazione e movimento. Equazioni di bilancio. Grandezze termodinamiche ed equazioni costitutive. Materiali classici: fluidi perfetti, incomprimibili, barotropici; fluidi perfetti ed equazioni di Eulero; fluidi newtoniani ed equazioni di Navier Stokes. Unicità e stabilità per soluzioni di un problema di flusso viscoso.

Equazione del calore come paradigma della diffusione. Condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann, di Robin, miste. Unicità della soluzione con il metodo dell'energia. Principio del massimo minimo) debole e forte; corollari. Riscalamento parabolico. Soluzione fondamentale. Uso della soluzione fondamentale per il problema di Cauchy omogeneo e per il problema non omogeneo.

Equazione dei mezzi porosi (equazione non lineare del calore) (EMP) standard. Propagazione a velocità finita: soluzioni stazionarie, a variabili separabili, di tipo onde, soluzione fondamentale di Barenblatt. Fluido incomprimibile in mezzo poroso. Flusso di Stefan e diffusione alla Stefan-Maxwell; applicazioni.

L.C. Evans: "Partial Differential Equations", American Mathematical Society, Providence (RI), 1998.

R.T. Glassey: "The Cauchy problem in kinetic theory", Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.

C. Villani: "A review of mathematical topics in collisional kinetic theory". Handbook of mathematical fluid dynamics, Vol. I,71-305, North-Holland, Amsterdam, 2002.

M.E. Gurtin: "An Introduction to Continuum Mechanics", Academic Press (NY), 1981.

S. Salsa: Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory", Springer (Milan), 2009.

J. L. Vazquez: "The porous medium equation : mathematical theory" (XXII - Oxford mathematical monographs) Clarendon Press (Oxford), 2007.

Appunti dei docenti.