Il corso intende fornire un'introduzione al Calcolo delle Variazioni.

Lezioni frontali

Esame orale

Conoscenze di base di analisi funzionale e di teoria della misura (le principali definizioni e i risultati utilizzati saranno comunque richiamati durante il corso).

Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzioni semi-continue inferiormente: definizione sequenziale e topologica, proprietà. Funzioni coercive e sequenzialmente coercive. Funzioni convesse: dominio, epigrafico, proprietà. Inviluppo semi-continuo inferiormente e inviluppo convesso. Funzionali integrali su spazi di Lebesgue: semi-continuità rispetto alle topologie forte e debole. Operatori di Nemytskii. Lemma di Riemann-Lebesgue. Convessità come condizione necessaria e sufficiente per la semi-continuità debole. Spazi di Sobolev. Funzionali integrali su spazi di Sobolev: semi-continuità rispetto a topologie forte e debole. Quasi-convessità, policonvessità e convessità di rango uno. Quasi-convessità come condizione necessaria e sufficiente per la semi-continuità debole. Rilassamento. Differenziabilità secondo Fréchet e secondo Gâteaux. Equazione di Eulero-Lagrange. Equazione di DuBois-Reymond. Risultati di regolarità per problemi uno-dimensionali. Gamma-convergenza: teorema fondamentale, stabilità rispetto a perturbazioni continue, relazioni con convergenza uniforme e puntuale, semi-continuità inferiore del Gamma-limite, rilassamento, esempi e applicazioni.

G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. HIldebrandt
One-dimensional Variational Problems, An Introduction
Oxford University Press, 1998

B. Dacorogna
Direct Methods in the Calculus of Variations
Springer 2002, 2nd edition

A. Braides
Gamma-convergence for beginners
Oxford University Press, 2002