a) fornire gli elementi piu' importanti della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert, con particolare riguardo agli spazi di Banach; b) dare applicazioni significative dell'Analisi Funzionale a problemi di un certo rilievo nell'Analisi Matematica; c) evidenziare l'interazione fra problematiche concrete e teoria astratta con la presentazione parallela di concetti, risultati e applicazioni.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Esame scritto e orale. Lo scritto ha carattere facoltativo e si terrà una sola volta durante l'anno, pochi giorni dopo la fine delle lezioni.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una e piu' variabili. Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Nozioni di base di algebra lineare.

1. Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi vettoriali topologici. Completezza e spazi di Banach e di Hilbert. Esempi significativi, quali gli spazi di funzioni continue, di Lebesgue e di Sobolev. Spazio duale. Operatori lineari e continui.

2. Forme analitiche dei teoremi di Hahn-Banach e loro applicazioni: la mappa di dualità. Forme geometriche dei teoremi di Hahn-Banach e alcune loro applicazioni: funzioni convesse e sottodifferenziali. Teorema di Fenchel-Moreau.

3. Alcuni dei teoremi fondamentali della teoria degli spazi di Banach: i teoremi di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e del grafico chiuso con alcune loro conseguenze importanti. L'aggiunto di un operatore non limitato e le relazioni di ortogonalità. Operatori chiusi.

4. Riflessività; classi importanti di spazi riflessivi. Famiglie di seminorme, spazi localmente convessi, spazi di Frechet. Le topologie debole e debole*: teoremi di compattezza debole e di compattezza debole*. Spazi separabili.

5. Spazi Lp. Disuguaglianze fondamentali. Teoremi di rappresentazione di Riesz. Riflessività e separabilità di Lp. Convoluzione e regolarizzazione. Teorema di Ascoli. Compattezza forte in Lp.

6. Spazi di Hilbert. Proiezioni su un convesso chiuso. Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Somme e basi hilbertiane.

7. Spazi di Sobolev in dimensione 1. Regolarità delle funzioni Sobolev. Riflessività e separabilità. Teoremi di prolungamento. Immersioni di Sobolev. Tracce. Applicazioni allo studio di equazioni alle derivate parziali.

- Brezis: Analisi Funzionale, Liguori Editore
- Gilardi: Analisi Funzionale. Argomenti scelti e Applicazioni, McGraw-Hill