Conoscenza di base della Teoria delle Distrubuzioni, degli Spazi di Sobolev e delle Equazioni Ellittiche.

Lezioni frontali

Esame orale.

Proprietà di base degli spazi di Banach (duali e topologie deboli) e degli spazi L^p.

SPAZI FUNZIONALI. Spazi duali e teoremi di rappresentazione di Riesz. Misure di Radon finite e localmente finite. Topologia limite induttivo. Convergenza e compattezza debole.

DISTRIBUZIONI. Definizione di distribuzione e topologia. Immersioni e convergenza sequenziale. Derivazione. Traslazione e rapporti incrementali. Ordine di una distribuzione. Lo spazio M delle misure di Radon. Supporto e distribuzioni a supporto compatto. Lo spazio E'. Convoluzione. Soluzioni fondamentali del Laplaciano in R^n.

SPAZI DI SOBOLEV. Definizione, norme e prodotti scalari, separabilità e riflessività. Teorema di Friedrichs. Chain rule e troncamento. Caratterizzazione per traslazione. Prolungamento per riflessione. Teorema di Meyers-Serrin. Immersioni continue. Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Teorema di Morrey. Funzioni Lipschitziane ed assolutamente continue. Proprietà elementari dello spazio BV. Immersioni compatte. Spazi duali ed H^{-1}. Disuguaglianza di Poincaré e Poincaré-Wirtinger. Tracce in L^p. Formule di Green. Cenni sugli spazi frazionari.

EQUAZIONI ELLITTICHE. Teorema di Lax-Milgram. Laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee e non-omogenee per operatori a coefficienti limitati. Lo spazio L^2(div) e i problemi di Neumann. Problemi misti. Regolarità H^2 per il problema di Dirichlet (traslazioni di Niremberg). Principio di massimo (troncature di Stampacchia). Autovalori del Laplaciano. Elasticità lineare.

H. Brezis: "Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations". Springer, New York, 2011.
L.C. Evans: "Partial Differential Equations", Americal Mathematical Society, Providence, 1998.
G. Leoni: "A First Course in Sobolev Spaces". Americal Mathematical Society, Providence, 2009.
F. Treves: "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels". Academic Press, New York, 1967