Il corso tratta alcuni concetti fondamentali di Algebra Lineare Numerica e quindi si pone l'obiettivo di portare lo studente alla conoscenza dei principali algoritmi per l’esecuzione al computer di operazioni matriciali, rivolte in particolare alla soluzione di sistemi lineari e al calcolo di autovalori e autovettori di matrici. Problemi di questo tipo appaiono nella grande maggioranza delle simulazioni al calcolatore di modelli matematici: in ingegneria, fisica, astronomia, biomatematica, finanza ed informatica. Durante il corso, lo studio teorico è affiancato da esercitazioni tenute nel laboratorio informatico del Dipartimento di Matematica, che costituiscono parte integrante del corso stesso.

Lezioni, esercitazioni, laboratori informatici.

Esame scritto e orale. Relazione di laboratorio.

Il corso di Algebra lineare del primo anno.

1) Analisi degli errori. Propagazione degli errori. Condizionamento di un problema.

2) Metodi diretti per la risoluzione dei sistemi lineari.Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU. Strategie di pivoting. Altre fattorizzazioni, fattorizzazione di Choleski. Matrici a banda, a blocchi e sparse. Il numero di condizionamento. Analisi a priori in avanti e all'indietro. Stabilità della fattorizzazione LU. Sistemi sovradeterminati; fattorizzazione QR; algoritmo di Gram-Schmidt modificato e matrici di Householder.

3) Metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari. Metodi di splitting: metodo di Jacobi, metodo di Gauss-Seidel. Matrice di iterazione e raggio spettrale. Metodi JOR e SOR. Studio della convergenza e criteri di arresto. Metodi di tipo Richardson; analisi del metodo di Richardson stazionario. Metodo del gradiente (steepest descent). Metodo del gradiente coniugato; metodo del gradiente coniugato precondizionato. Precondizionatori.

4) Calcolo di autovalori e autovettori. Condizionamento dei problemi agli autovalori e localizzazione degli autovalori. Metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. Tecnica di shift. Deflazione. Metodi di similitudine; il metodo QR.

Appunti del docente;
Lloyd N. Trefethen, David Bau III. Numerical Linear Algebra. SIAM.