Il corso intende fornire agli studenti gli strumenti necessari per la formulazione di problemi dell'Analisi Matematica in spazi di dimensione infinita. A questo scopo verranno presentati i fondamenti dell’Analisi funzionale, con particolare attenzione alla teoria degli spazi di Banach e di Hilbert.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Esame scritto e orale.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili. Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Nozioni di base di algebra lineare.

Richiami su norme e prodotti scalari. Spazi vettoriali topologici. Spazi normati. Operatori lineari e continui. Duale topologico. Spazi di Banach. Il teorema di Hahn-Banach: forma analitica e forme geometriche, e sue conseguenze. Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus. Teorema dell’applicazione aperta, teorema del grafico chiuso e loro conseguenze. Topologia debole*, topologia debole e loro proprietà. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi riflessivi. Spazi separabili. Spazi L^p. Proprietá elementari. Riflessività e separabilità in L^p. Teorema di rappresentazione di Riesz. Approssimazione per convoluzione. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Fréchet-Kolmogorov. Spazi di Hilbert. Proiezione su un convesso chiuso. Teorema di Riesz di rappresentazione del duale. Teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram. Sistemi ortonormali completi. Operatori compatti. Operatore aggiunto di un operatore limitato. Teorema dell’alternativa di Fredholm. Spettro di un operatore compatto. Decomposizione spettrale di un operatore compatto e autoaggiunto. Operatori di tipo integrale. Applicazione al problema di Sturm-Liouville.

H. Brézis: Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Springer, 2011.
W. Rudin: Real and complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.