Acquisire i risultati e le tecniche fondamentali per lo studio e il trattamento delle equazioni differenziali, dei sistemi lineari di equazioni differenziali e di semplici sistemi dinamici piani. Apprendere le nozioni di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa, acquisendo familiarità con le operazioni e trasformazioni in campo complesso e le loro applicazioni.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Prova scritta e prova orale.

I contenuti di base dei corsi di Analisi matematica e di Algebra lineare del primo anno di corso.

Prima parte: equazioni differenziali ordinarie. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali. Risultati generali sui problemi ai valori iniziali (esistenza e unicità, prolungamento delle soluzioni, teoremi di confronto, dipendenza delle soluzioni dai dati). Tecniche elementari di integrazione per alcuni tipi di equazioni. Equazioni e sistemi differenziali lineari (risultati generali e calcolo della matrice esponenziale). Studio qualitativo delle soluzioni. Teorema di Cauchy-Peano sull’esistenza della soluzione in ipotesi che non garantiscono l’unicità. Comportamento asintotico e stabilità (caso lineare, metodo di linearizzazione e funzioni di Lyapunov, ritratto di fase per sistemi piani).

Seconda parte: funzioni di una variabile complessa. Differenziabilità complessa e analiticità. Serie di potenze. Integrazione lungo le curve. Funzioni olomorfe e primitive complesse. Teorema di Cauchy. Funzioni meromorfe e singolarità. Logaritmo in campo complesso. Indice di avvolgimento. Teorema dei residui. Applicazioni al calcolo di integrali. Ulteriori proprietà di base delle funzioni olomorfe (principio del prolungamento analitico, principio dell'argomento e teorema di Rouché, successioni di funzioni olomorfe). Proprietà geometriche: teorema dell'applicazione aperta, trasformazioni conformi.

M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.

A. Ambrosetti: Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie. Springer Verlag, 2011.

H. Amann: Ordinary differential equations. An introduction to nonlinear analysis. de Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 13. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1990.

E. M. Stein - R. Shakarchi: Complex analysis, Princeton Lectures in Analysis II, Princeton University Press (2003)

T. Needham: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1997.

Per quanto riguarda la parte relativa alle equazioni differenziali ordinarie saranno inoltre fornite dispense.