Studio teorico e numerico del metodo degli elementi finiti e di alcune sue applicazioni.

Lezioni ed esercitazioni, anche in laboratorio.

Esame orale.

I contenuti dei corsi di base di Analisi Matematica e di Analisi Numerica.

Le lezioni teoriche riguarderanno i seguenti argomenti:
- richiami di Analisi Funzionale, con particolare riferimento agli spazi W^{k,p}, e alla formulazione variazionale primale di problemi ellittici
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert.
- interpolazione di Lagrange in n-simplessi ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stima dell'errore: Lemma di Cea e tecniche di dualità
- studio del metodo degli Elementi Finiti per problemi ellittici, con particolare riferimento al caso bidimensionale
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin: esistenza, unicità, stabilità della soluzione e stima dell'errore.
- elementi finiti misti per il Laplaciano in forma mista (Darcy)
- elementi finiti per il problema di Stokes

Il laboratorio informatico avrà l'obiettivo di implementare il metodo
degli elementi finiti in linguaggio MATLAB. In particolare si
tratteranno alcuni dei seguenti aspetti:
- struttura dati ed algoritmi per la triangolazione di una regione piana
- interpolazione e integrazione numerica di funzioni sulla triangolazione
- matrici locali e assemblaggio
- condizioni al bordo di tipo Dirichlet and Neumann
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in forma primale, con elementi P1
- implementazione dell'elemento RT
- metodo degli elementi finiti per il problema di Poisson in forma mista (problema di Darcy)

NB: Il programma effettivamente svolto potrà subire variazioni anche
significative, anche a seconda degli interessi specifici dimostrati
dagli Studenti per gli argomenti proposti.

A. Quarteroni, A. Valli: "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Springer-Verlag, 1994.

Braess, Dietrich. Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. Cambridge University Press, 2001.

Daniele Boffi, Franco Brezzi, e Michel Fortin. Mixed finite element methods and applications. Berlin: Springer, 2013.